PROBABILIDAD Y ESTADISTICA II

^^ bueno esta vez les traigo un manual, el cual yo mismo estoy creando, para poder apoyarme en mis estudios,

ÍNDICE

UNIDAD 1

1.- Definición de probabilidad Conjunta

2.- Regla de la Adición

3.-Eventos Mutuamente Excluyentes

4.- Eventos Mutuamente No Excluyentes entre si

5.- Regla de la Multiplicación

6.- Eventos Independientes

7.- Eventos Dependientes

8.- Probabilidad Condicional

9.- Teorema de Bayes

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Inicio de la unidad 1
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1.- Definición de probabilidad Conjunta

La probabilidad conjunta es aquella que se compone de dos eventos o mas, la que nos permite saber cual es la probabilidad de que dos eventos o mas sucedan

2.- Regla de la Adición

La regla de la adición o la regla general de la suma, expresa que cuando un problema de probabilidad tiene como condición que se presenten uno u otro evento, la probabilidad total se forma por la suma directa de las probabilidades individuales si los eventos son mutuamente excluyentes, esto es, P(A o B) = P(A) + P(B).

y en el caso de eventos mutuamente no excluyentes entre si,debe considerarse de que la probabilidad de que ocurra varios eventos está incluida en ellos, por lo que debe restarse esa probabilidad de la suma directa y se expresa de la siguiente forma:
P(A o B) = P(A) + P(B) - P(AyB).

3.-Eventos Mutuamente Excluyentes

Los eventos mutuamente excluyentes, son aquellos que no pueden ocurrir al mismo tiempo, es uno o es otro, así de sencillo ^^

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Ejercicio
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Una caja contiene 6 billetes de $500.00, 3 de $50.00 y 1 de $100.00 Determine la probabilidad de que al extraer al azar uno de estos este sea de $100.

Solución:

• La formula básica del a probabilidad es

Probabilidad = Numero de eventos exitosos / Total de eventos = n/N

billete de $100.00 = Numero de billetes de $100.00 / Total de billetes

= 1/6+3+1 = 0.1 = 10%
4.- Eventos Mutuamente No Excluyentes entre si

Estos suceden, cuando la ocurrencia de un evento no impide que suceda también otro, por ejemplo, que una persona sea doctor y que tenga mas de 35 años.

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Ejercicio
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De un grupo de 45 estudiantes universitarios, 28 estudian ingles y 16 estudian francés, además de que 12 no estudian idiomas. Prepare un diagrama de Ven que ilustre esta situación, y determine la probabilidad de que al entrevistar al azar a un alumno del grupo, este estudie ingles y francés.

Solución:

• Datos para el diagrama de Ven

Numero de estudiantes de ambos idiomas:

= est. ingles + est. francés - No est. ingles ni francés - Total de est.

= 28 + 16 +12 - 45 = 11

Numero de estudiantes solo de ingles

= Numero de estudiantes de ingles - estudiante de ambos idiomas

= 28 - 11 = 17

Numero de estudiantes solo de francés

= Numero de estudiantes de francés - estudiante de ambos idiomas

= 16 - 11 = 5

• Diagrama de Ven

• La formula de la probabilidad es:

probabilidad = Numero de eventos exitosos/Total de eventos exitosos = n/N

P(ambos idiomas) = Numero de est. de ambos idiomas / Total de est.

= 11/45 = 0.244 = 24.4%

5.- Regla de la Multiplicación

Esto ocurre cuando el enunciado de un problema de probabilidad tiene como condición que se presenten uno y otro evento por ejemplo un alumno de ingles y de francés , la probabilidad total se forma por la multiplicación directa de las probabilidades individuales si los eventos son independientes, esto es, P(A y B) = P(A) * P(B).

Y si los eventos son dependientes debe considerarse las probabilidades de que ocurra un segundo evento, si ya ocurrió un primero, y se expresa así:
P(A y B) = P(A) * P(B/A) o P(B y A) = P(B) * P(A/B).

P(A/B) indica la probabilidad de que ocurra, el evento B, si se sabe que ya ocurrió el evento A.


6.- Eventos Independientes

Los eventos son independientes cuando no se ven afectado por otro

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Ejercicio
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Una caja contiene 6 billetes de $500.00, 3 de $50.00 y 1 de $100.00 Determine la probabilidad de que al extraer al azar uno de estos, este sea de $50.00 o de $100.00.

Solución:

• Si los eventos son independientes, la probabilidad total es la suma de las probabilidades individuales, por lo tanto.

p($50 o $100) = P($50) + P($100)

= (No. bille. de $50 / Total de bille.) + (No. bille. de $100/Total de bille.)

= (3/6+3+1) + (1/6+3+1)

= 0.3 + 0.1 = 0.4 = 40%

• Solución alternativa

P($50 o $100) = 1 - P($50)

= 1 - No. de Bille. $50 / Total de Bille.

= 1 - (6/6+3+1)

= 1 - 0.6 = 0.4 = 40%

7.- Eventos Dependientes

Cuando un evento afecta la probabilidad de que suceda otro, se dice que uno es dependiente del otro, o que son dependientes; por ejemplo, si un trabajo se hace descuidada mente es mas probable que resulte mal.

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Ejercicio
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Una caja contiene 6 billetes de $500.00, 3 de 50.00 y 1 de $100. Determine la probabilidad de que, al extraer al azar dos de estos, ambos sean de $500.00.

Solución:

• Para que se cumpla el enunciado, el primer billete debe ser de $500.00. Este evento tiene como probabilidad la siguiente:

P(primer billete que sea de $500.00) = Numero de billetes de $500.00 / Total de billetes

= 6/10 = 0.6

También debe ocurrir que el segundo billete sea de $500.00. Este evento tiene como probabilidad la siguiente:

P(segundo billete sea $500.00) = Numero de billetes de $500.00 / Total de billetes restantes

=5/9 = 0.5556

Observe que el calculo de la probabilidad incluye el hecho de que ya se extrajo de la caja un billete de $500.00.

• La probabilidad de que dos eventos dependientes se presenten simultanea mente es la multiplicación de las probabilidades de ambos eventos, esto es,

P[Pri. $500 y Seg. $500.00] = P [Pri. $500] y [seg. $500]

= (0.6) (0.5556) = 0.333


8.- Probabilidad Condicional

La probabilidad condicional se refiere al calculo de la probabilidad de un evento, cuando se sabe que ya ocurrió otro con el cual esta relacionado; por ejemplo, ¿cual sera la probabilidad de que llueva si el día esta nublado?

9.- Teorema de Bayes

El teorema de bayes, en su forma mas sencilla, permite calcular la probabilidad de que ocurra el evento B, si se sabe que ya ocurrió el evento A, esto es, P(BA). Para ello se requiere conocer la probabilidad simple de que ocurra el evento A, o sea P(A); la probabilidad simple de que ocurra el evento B, es decir, P(B); y la probabilidad de que ocurra el evento A, si se sabe que ya ocurrió el evento B, o sea , P(AB).

Lo anterior puede expresarse por medio de la siguiente formula, la cual se aplica a continuación:

P(BA) = P(AB) * P(B) / P(A)

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Ejercicio
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El 55.26% de los automóviles de un estacionamiento son de cuatro puertas. Los automóviles blancos son 21.27% del total, y los automoviles de cuatro puertas escogidos de entre los blancos son el 59.77%.Determine el porcentaje de los autos blancos escogidos de centre los de cuatro puertas.

Solución:

• Sea A = Porcentaje de autos de cuatro puertas
• Sea B = Porcentaje de autos blancos
• sea AB = porcentaje de autos de cuatro puertas que son de color blanco

Los datos del problema son:

• P(A) = 55.26% = 0.5526
• P(B) = 21.27% = 0.2127
• P(AB) = 59.77% =0.5977

El porcentaje deseado es: P(autos blancos que son de cuantro puertas), lo cual puede obtenerse el teorema de Bayes para probabilidades condicionales.

• P(BA) = P(AB) * P(B) / P(B)

= (0.5977) * (0.2127) / (0.5526)

= 0.2301

= 23.01%

Observe que P(AB) es diferente a P(BA).